E=mc²

QUE SIGNIFICA E=mc²

EL TIEMPO Y EL ESPACIO RELATIVOS
El hecho de que el tiempo no transcurre en forma igual para observadores distintos es una de las predicciones más sorprendentes de la teoría de Einstein. Nuestro sentido común, basado en la práctica cotidiana, indica que los relojes funcionan de la misma forma, sin importar cómo se mueven. ¿No es entonces absurdo pretender que el tiempo medido es relativo al observador? Es importante señalar que el efecto predicho por Einstein sólo es perceptible a velocidades cercanas a la de la luz.
Para ser más precisos, supongamos que, en un cierto sistema de referencia, dos sucesos ocurren en el mismo lugar y con un intervalo de tiempo t. En otro sistema de referencia que se mueve con velocidad V con respecto al primero, los dos sucesos ocurren con un intervalo de tiempo t' dado por la fórmula:

( de aquí en adelante usaremos c para designar la velocidad de la luz); es decir, el tiempo medido en el segundo sistema es mayor que el medido en el primero. Qué tan mayor depende de la velocidad V; si V es muy pequeña con respecto a la velocidad de la luz c, entonces la diferencia entre t y t' es prácticamente imperceptible (por ejemplo, si V=10 000 kilómetros por hora, t y t' apenas difieren en una parte en cien mil millones); en el otro extremo, si V es cercano a la velocidad de la luz, entonces es mucho mayor que t (por ejemplo, si V es 0.997 veces la velocidad de la luz, entonces t' es 13 veces mayor que t). La relación entre los tiempos medidos en dos sistemas de referencia en movimiento relativo está determinada por el valor del llamado factor de Lorentz:

que difiere del valor 1 sólo para velocidades cercanas a la de la luz (Figura 11).
Así, la razón por la que no percibimos variaciones de tiempo en nuestra experiencia diaria es que estamos acostumbrados a movernos a velocidades extremadamente pequeñas con respecto a la velocidad de la luz. Si la velocidad de la luz fuera muchísimo menor de lo que es, estaríamos acostumbrados a variaciones del tiempo, y no hubiera sido necesario un Einstein para convencernos de que el tiempo es relativo a quien lo mide.
Pero entonces, ¿es imposible determinar en forma única la duración de un fenómeno?, ¿nos condena la relatividad a perder el concepto del tiempo? Nada de eso. El tiempo que marca un reloj es un concepto perfectamente bien definido. De acuerdo con la teoría de la relatividad, el tiempo de ese reloj no coincide con el que marca otro reloj que se mueve con respecto al primero, pero la relación entre los dos tiempos se puede determinar perfectamente.

Gráfica del factor de Lorentz g en función de la velocidad v.
Todos los fenómenos físicos tienen su tiempo asociado: los relojes de cuarzo que se utilizan en la actualidad miden el tiempo contando el número de vibraciones electromagnéticas emitidas por los átomos en un cristal de cuarzo, y ese tiempo es el mismo para todos los relojes del mundo. Si un cosmonauta realizara un viaje por el espacio a una velocidad cercana a la de la luz, no percibiría nada de particular con respecto a su propio tiempo, pero al regresar a la Tierra notaría que su reloj no coincide con el de los que se quedaron en ella. Como veremos más detalladamente en el siguiente capítulo, el tiempo transcurrido para el cosmonauta será menor que el transcurrido en la Tierra, aunque ambos tiempos se pueden medir sin ambigüedades.
En conclusión, si queremos medir el tiempo transcurrido entre dos sucesos, nos conviene hacerlo en un sistema de referencia en el que los dos sucesos ocurren en el mismo punto. Al tiempo así medido, los físicos llaman tiempo propio. En otro sistema de referencia que se mueve con respecto al primero, los dos sucesos no parecen ocurrir en el mismo sitio y el tiempo transcurrido entre ellos difiere del tiempo propio por un factor de Lorentz. (Figura 11.)
Otra consecuencia sorprendente de la teoría de Einstein es que el espacio, al igual que el tiempo, también es relativo a quien lo mide. Más específicamente, si la longitud de un cuerpo en reposo es L, entonces su tamaño en movimiento, digamos L', será menor, de acuerdo con la fórmula:

Tal y como sucede con el tiempo, esta contracción aparente es imperceptible si la velocidad del objeto es mucho menor que la velocidad de la luz.
Es importante, sin embargo, no confundir esta contracción del tamaño con la apariencia visual de un objeto en movimiento. Cuando vemos un objeto, percibimos en cada instante la luz que fue emitida por distintas partes del cuerpo a tiempos distintos, porque la luz no se propaga instantáneamente. Este efecto debe tomarse en cuenta, en combinación con la contracción mencionada más arriba, para deducir la apariencia de un cuerpo en movimiento. Volveremos a este tema en el siguiente capítulo.

MATERIA Y ENERGÍA
Además de la contracción del tiempo y del espacio, la teoría de la relatividad predice un efecto que, en un principio, parecía un resultado puramente formal, pero que algunos años más tarde modificó fundamentalmente el curso de la historia. Einstein se dio cuenta de que la masa y la energía de un cuerpo aparecen siempre unidas de una manera muy conspicua en las ecuaciones de su teoría. Esto le condujo a afirmar que existe una equivalencia entre la masa y la energía expresada por la fórmula:

donde E es la energía de un cuerpo, m su masa y c2 la velocidad de la luz elevada al cuadrado.
En la mecánica newtoniana, un cuerpo de masa m que se mueve con velocidad V posee, en virtud de su movimiento, una energía igual a 1/2 mV2. En la teoría de la relatividad, la energía de movimiento del cuerpo resulta ser:

donde una vez más aparece el factor de Lorentz. Lo interesante de esta fórmula es que, incluso cuando un cuerpo se encuentra en reposo (es decir, V = 0), posee una energía que es justamente mc2. Einstein concluyó que un cuerpo aun en reposo posee una energía almacenada en forma de masa.

La fórmula de Einstein E = mc2 afirma que un solo kilogramo de materia equivale aproximadamente a toda la energía que se consume en la Tierra en una hora. Obviamente surge la pregunta de si se puede extraer, en la práctica, la enorme energía almacenada en la materia. Al principio Einstein y los demás físicos pensaban que eso era sólo una ilusión; pero la situación empezó a cambiar en los años treinta...
Algunas veces, la fórmula de Einstein se interpreta en el sentido de que un cuerpo que se mueve aumenta su masa, adquiriendo una nueva masa m' dada por la fórmula:

Sin embargo, es más conveniente interpretar esto como un aumento de energía del cuerpo, ya que en la práctica, la masa de un cuerpo en movimiento no se puede medir sin ambigüedades.
Por último, hay que notar que según la fórmula anterior la energía de un cuerpo aumenta indefinidamente a medida que su velocidad v tiende a la velocidad luminosa (recuérdese el factor Lorentz, Figura 11). Para que un cuerpo alcance la velocidad de la luz, se necesita una energía infinita. Por esta razón, la velocidad de la luz es una barrera natural a todas las velocidades en la naturaleza: todo cuerpo masivo está restringido a moverse más lentamente que la luz.

naturaleza de la luz

Como señalamos anteriormente, la teoría de la relatividad cortó de raíz el concepto del éter como sistema absoluto de referencia. Fue un alivio para la física, pues no había modo de explicar la naturaleza de una sustancia tan intangible. Sin embargo, al desaparecer el éter resurgía con más fuerza el problema de la propagación de la luz: si la luz es una onda, como indican todos los experimentos, ¿en qué medio se propaga? Para responder a esta pregunta, fue necesaria otra revolución científica: la mecánica cuántica, en cuya fundación también participó Einstein en forma decisiva.

Todo cuerpo caliente radia energía en forma de luz; por ejemplo, un hierro incandescente emite principalmente luz roja, pero también luz de otras longitudes de onda. La cantidad de energía emitida en cada longitud de onda depende fundamentalmente de la temperatura del cuerpo emisor y se puede medir experimentalmente. A fines del siglo XIX, los físicos se enfrentaban al problema de explicar teóricamente lo que observaban en el laboratorio, pero algo parecía no funcionar con los conceptos bien establecidos de la física.
Finalmente, el físico alemán Max Planck demostró que se podía explicar la forma de la radiación emitida por un cuerpo si se postulaba, que la luz se propaga en paquetes de energía, siendo la energía de cada paquete inversamente proporcional a la longitud de la onda. De acuerdo con la hipótesis de Planck, la energía transportada por una onda luminosa es un múltiplo de la energía:
hv

donde h es la llamada constante de Planck —su valor es 6.547 X 10-27 erg/seg— y v, es, la frecuencia de la onda (el número de vibraciones por segundo; la frecuencia v y la longitud de onda l están relacionadas por la fórmula v=c/l).
La hipótesis de Planck, formulada en 1900, explicaba los experimentos pero no parecía tener ninguna base física. Después de todo, una onda luminosa puede tener cualquier energía, del mismo modo como una onda de sonido puede ser débil o fuerte. En 1916 Einstein propuso una solución revolucionaria; ¡la luz está compuesta de partículas!, siendo la energía de cada partícula hv; de acuerdo con la hipótesis de Planck.
Una vez más, Einstein contradecía las ideas bien establecidas de su época. Cuando finalmente los físicos se habían convencido de que la luz es una onda, ¡Einstein postulaba que es una partícula! Sin embargo, esta dualidad onda-partícula resultó ser una propiedad fundamental de la naturaleza a nivel atómico. Todos los fenómenos atómicos están regidos por la mecánica cuántica, que es radicalmente distinta de la mecánica newtoniana. Uno de los postulados básicos de la mecánica cuántica es que las partículas elementales, que constituyen la materia, están dotadas de propiedades tanto de onda como de partícula.
La partícula de la luz es el fotón, que también se comporta como una onda, y la relación entre la energía del fotón y su frecuencia está dada por la fórmula de Planck. Evidentemente, el fotón viaja siempre a la velocidad de la luz. Para ello, su masa debe ser exactamente cero, ya que, como señalamos más arriba, una partícula masiva necesita energía infinita para moverse a la velocidad de la luz; sólo una partícula sin masa puede viajar a esa velocidad y poseer una energía finita.

Einstein postuló la existencia del fotón en otro famoso artículo publicado en 1905, en el que explicaba el efecto fotoeléctrico. Este fenómeno consiste en que algunos materiales producen una corriente eléctrica al absorber la luz, lo cual es el principio del funcionamiento de las celdillas fotoeléctricas; muy utilizadas actualmente (para hacer que cierre la puerta de un elevador, por ejemplo). El trabajo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico (y no la teoría de la relatividad) le valió el premio Nóbel de física de 1921.
Por supuesto, el fotón no necesita de ningún éter para propagarse. En el lenguaje de la física moderna, el campo electromagnético posee energía, y esta energía está cuantizada: aparece sólo en paquetes de energía. El fotón se interpreta como un cuantum (cantidad mínima indivisible) de campo electromagnético.

La ecuación de la Teoría de la relatividad E = mc2 indica que la materia es simplemente otra forma de energía; concepto paradójico en física clásica (y en el sentido común). Sin embargo, gracias a esta ecuación fue posible explicar fenómenos como la desintegración radiactiva.
La fórmula establece la relación de proporcionalidad directa entre la energía (según la definición hamiltoniana) E con la masa m.
La fórmula también indica la relación cuantitativa entre masa y energía en cualquier proceso en que una se transforma en la otra, como en una explosión nuclear. La E puede tomarse como la energía liberada cuando una cierta cantidad de masa m es transformada, o como la energía absorbida para crear una cierta cantidad de masa m. En ambos casos, la energía liberada (absorbida) es una cantidad similar a la masa destruida (creada) multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz (c).

Aplicaciones de la ecuación
La ecuación, E=mc2, se aplica a todos los objetos que cuentan con una masa por el hecho que la masa de un objeto se deriva de la energía (o la energía de su masa) y es posible convertir de energía a masa y viceversa. La aplicación de susodicha ecuación a los objetos en movimiento dependería de la definición de masa que se este utilizando en la ecuación.
Normalmente la ecuación se aplica a un objeto que no se encuentra en movimiento lo cual significa que el objeto está siendo visto desde un punto de referencia en el cual el objeto se encuentra en reposo. Este mismo objeto podría encontrarse en movimiento desde otro marco de referencia aunque para este último escenario la ecuación no aplicaría.
Cabe notar que en la física moderna la masa es absoluta y la energía es relativa. Basándose en este punto se puede decir que técnicamente la masa no es energía ni tampoco la energía es igual a la masa. La ecuación simplemente detalla la conversión de masa a energía.

Utilizando la masa relativista
En los ensayos de Einstein (uno de los cuales se puede encontrar en esta página) la variable m representaba lo que ahora conocemos como masa relativista. Dicha masa se relaciona a la masa estacionaria, que es la masa de un objeto que se encuentra fijo desde el marco de referencia siendo utilizado. La masa relativista de un objeto cambia con la velocidad de un objeto, se incrementa a medida que la velocidad de un objeto incrementa desde el punto de vista utilizado, mientras que la masa estacionaria es una cantidad fija. Las dos masas se relacionan entre sí según la ecuación:

Para obtener la ecuación de E = mc2 se debe de modificar la ecuación E2 = p2c2 + m2c4 asignándole un valor de cero a p (p = 0) lo que significa que v también tiene que ser igual a cero (v = 0). Según se puede observar, el objeto esta fijo (su velocidad es de cero) y E2 es igual a m2c4, o sea E = mc2. E = mc2 solo se aplica en este caso en particular, en el cual la masa no está en movimiento. Si la masa se encuentra en movimiento es necesario volver a insertar la multiplicación del cuadrado de las variables p y c en la ecuación (p2c2).
Si se le asigna un valor de cero a la variable v (v = 0) en la ecuación , se dice que la masa no se encuentra en movimiento, y como resultado la masa relativista y la masa estacionaria tienen el mismo valor. En este caso la ecuación E = mc2 puede escribirse como E = m0c2. No existe ninguna diferencia entre esta ecuación y E = mc2 con excepción, quizás, de que se podría decir que m0 representa a v = 0.
Si se usa la masa relativista de un objeto se tiene que cambiar la ecuación original a E = mc2 a E = m0c2 y esta no aplicaría a un objeto en movimiento ya que m0 solo se aplica al caso en el cual v = 0 y cuando v es igual a cero, m = m0.

Utilizando la masa en reposo
Los físicos modernos rara vez utilizan la masa relativista, razón por la cual m representa la masa en reposo y la variable E es la energía en reposo (la energía de un objeto que no se encuentra en movimiento) en la ecuación E = mc2. La ecuación que se utiliza para los objetos que se encuentran en movimiento es

En la ecuación p = γmv es el ímpetu del objeto. Esta ecuación se reduce a E = mc2 en los casos que un objeto se encuentra en reposo. Por motivos de claridad la variable m representará la masa relativista y m0 representara la masa en reposo en el resto del artículo.

Aproximación de baja energía
Dado el hecho que la energía en reposo es igual a m0c2, la energía total es igual a la suma de la energía cinética más la energía en reposo. La ecuación que genera el total de la energía cinética relativa es la siguiente:
.
A velocidades bajas esta ecuación debería de ser equivalente a la fórmula que se utiliza para obtener la energía cinética de un objeto:
.
Al expandir γ utilizando una serie de Taylor se puede demostrar que las dos ecuaciones concuerdan una con otra:
.
Si se inserta esta fórmula a la ecuación original se obtiene el siguiente resultado:
.
Como resultado se obtiene la expresión ½m0v2 = Energía total - Energía en reposo que también se puede reorganizar para que Energía total = Energía en reposo + ½m0v2. Esta ecuación genera un conflicto con la física de Newton en la cual toda la energía se consideraba como energía cinética. Esta nueva ecuación demostró que la relatividad era una corrección a la mecánica clásica y que en un ambiente de baja energía o en un régimen clásico la física relativa y la física de Newton no son equivalentes la una con la otra. Aunque la fórmula para obtener el total de energía no es igual, la ecuación para obtener solamente la energía cinética de un objeto sí es la misma.
Einstein demostró que la física clásica estaba errada cuando trataba de explicar objetos masivos u objetos que viajan a velocidades muy elevadas. En el caso de los objetos más pequeños y lentos, los cuales fueron la base de la física clásica de Newton, la física clásica si es compatible con la física moderna.

Ensayo de Einstein de 1905
La ecuación, E = mc2, no fue formulada exactamente en dicha forma en el ensayo de Albert Einstein publicado en 1905. Einstein tituló dicho ensayo "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?" ("¿La inercia de un cuerpo depende de su contenido energético?", publicado en Annalen der Physik el 27 de septiembre). En la actualidad este ensayo se incluye en los ensayos de Einstein titulados colectivamente como los Ensayos Annus Mirabilis. La tesis del ensayo de 1905 fue: "Si un cuerpo genera energía, L, en la forma de radiación, su masa disminuye por L/c2." En este caso la radiación equivale a la energía cinética y el concepto de masa era el que en la física moderna equivale a la masa en reposo. La fórmula L/c2 equivale a la diferencia de masa antes y después de la expulsión de energía; esta ecuación no representa la masa total de un objeto. Cuando Einstein publicó su ensayo esta fórmula era una teoría y todavía no se había probado a través de experimentos.

Contribuciones de otros físicos
Einstein no fue el único físico que notó la relación de la energía y la masa pero sí el primero en publicar dicha relación como parte de una teoría mucho más importante y en deducir la relación de la energía con la masa desde otra teoría. Según Umberto Bartocci (historiador de matemáticas en la Universidad de Perugia), Olinto De Pretto, oriundo de Vicenza, Italia, ya había publicado la ecuación dos años antes que Einstein. Muchos historiadores no están de acuerdo con está declaración o no le dan mucha importancia. Los que defienden a Einstein también sostienen que aún si fuese cierto que De Pretto fue el primero en publicar la fórmula, fue Einstein que la pudo relacionar con la teoría de la relatividad.

2ª Ley de Kepler

La elipse trazada por un planeta alrededor del Sol tiene una forma simétrica, pero el movimiento no es simétrico.
Piense en una piedra lanzada hacia arriba: cuando sube pierde velocidad, durante un instante, en la cima de su trayectoria, se mueve muy despacio y finalmente cae, aumentando su velocidad de nuevo. El movimiento de un planeta alrededor del Sol o el de un satélite científico alrededor de la Tierra, siguen ecuaciones diferentes (aunque existe alguna unión), pero en muchos aspectos se parecen al de la piedra.

Esto es mucho más evidente si su órbita es alargada, o sea, si su excentricidad es casi 1. Cuando el planeta o el satélite se eleva en su órbita, su velocidad disminuye y cuando retorna, se acelera de nuevo, moviéndose a su mayor velocidad cuando está más cercano. Este punto de la órbita se llama perihelio para un planeta ("helios" es el Sol) y perigeo para un satélite terrestre ( "geo", es relacionado con la Tierra).
Después de estudiar observaciones reales, principalmente de Marte, Kepler propuso la siguiente regla para predecir la aceleración y la deceleración. Dibuje una línea ("radio vector") desde el centro del Sol hasta el planeta (o desde el centro de la Tierra hasta el satélite). La ley de Kepler afirma que:
"El radio vector barre iguales áreas en iguales tiempos""
Ilustrando la 2da. ley de Kepler: a los segmentos AB y CD les toma el mismo tiempo para recorrer .

Como ejemplo considere que el dibujo de la derecha representa la órbita de un satélite de la Tierra y haga que AB y CD sean porciones de la órbita cubiertas en 3 horas cerca del apogeo y del perigeo, respectivamente. Si O es el centro de la Tierra, las áreas sombreadas OAB y OCD son iguales. Lo que significa, obviamente, es que CD es más larga que AB, debido a que cerca del perigeo el satélite se mueve mucho más rápido y cubre en las 3 horas una distancia mayor.
Energía
La energía se puede definir libremente como algo que puede hacer mover a una máquina. Las formas de energía que mueven nuestras máquinas son, normalmente, la electricidad o el calor; la luz es otra forma de energía, convertida en electricidad mediante células solares, que generan la potencia de la mayoría de los satélites.

La gravedad también puede proveer energía. Las ruedas de los relojes de nuestros abuelos giraban por medio de pesos que descendían gradualmente hacia el fondo del reloj, en cuyo punto tenían que ser subidos de nuevo o el reloj se paraba. Thomas Jefferson, tenía en su casa cerca de Charlottesville, Virginia, un reloj cuyos pesos (colgados a un lado de la habitación) eran balas de cañón amarradas a una cuerda y para que el reloj tuviera cuerda para 7 días, había hecho un agujero en el suelo que permitía a las balas descender hasta el sótano.
Cuando una bala o un peso se elevan contra la fuerza de la gravedad, adquieren energía potencial, energía en virtud de su posición, proporcional a la altura a que han sido elevados. Si se suelta el peso, pierde altura y energía potencial, pero gana velocidad y energía cinética, la energía debida a la velocidad del movimiento. La energía cinética se puede volver a convertir en potencial, como ocurre en la montaña rusa cuando pasa por el fondo de una depresión y sube de nuevo.

Un cambio similar ocurre cuando se tira una piedra hacia arriba con una velocidad v. Si su masa es m (el concepto de masa se definirá más adelante, de momento véalo como algo relacionado con el peso), su energía cinética será:
1/2 mv2
Cuando sube, v y la energía cinética disminuyen, pero eso se compensa con el aumento de la energía potencial:
h m g
donde h es la altura en metros y g es una constante que mide la intensidad de la fuerza de la gravedad: si m está en kilogramos, h en metros y v en metros por segundo (escrito m/s ; la velocidad de una persona caminando es de 1-2 m/s), g es aproximadamente 9.81.
La suma de las dos es la energía total E y permanece constante:
E = 1/2 mv2 + h m g = constante

Cuando la piedra sube, la parte cinética de su energía se hace cada vez menor, siendo cero cuando alcanza el punto más alto, donde, durante un breve instante v = 0. Durante el viaje de descenso, tiene lugar lo contrario. En una sección posterior volveremos a ver esta fórmula y el concepto de energía.
Para un satélite de masa m que órbita la Tierra (o para un planeta alrededor del Sol) existe una fórmula similar:
E = 1/2 mv2 – k m/r = constante
Aquí k es otra constante, de hecho relacionada con g, porque ambas constantes reflejan la intensidad de la gravedad de la Tierra (el valor exacto es: k = gR2, donde R es el radio de la Tierra, en metros).
(Si r es medida en radios de la Tierra, la distancia en metros es de rR y eso es lo que deberá ir en el denominador. Sin embargo, la fórmula de arriba sigue siendo verdadera si cancelamos un factor, R y de esa manera redefinimos k como gR.)
No deje que le confunda el signo menos: cuando el satélite se eleva, r aumenta, k m/r se hace menor, pero -k m/r se hace grande, es menos negativo que cerca de la Tierra. Esta ecuación indica porqué la velocidad del satélite disminuye cuando se aleja y aumenta cuando regresa.
Suponga que el satélite tiene la velocidad suficiente para escapar completamente de la gravedad de la Tierra (la "velocidad de escape" V). Cuando esté lejos de la Tierra, donde k m/r es cercano a cero, su energía cinética tambien estará agotada, o sea, v = 0. Como la suma E es la misma en todas partes, esto da a entender que par una sonda espacial que justo por poco escapó de la gravedad de la Tierra, E = 0. Por esto
V2 = 2k/R = 2 g R
Con g = 9.81 y R =6 371 000 metros V será unos 11200 m/s.
La Anomalía Media
Anteriormente se ha dicho que se necesitaba un tercer elemento orbital para especificar donde se localiza el satélite en su órbita. Puesto que la ecuación de la elipse orbital es
r = a(1 – e2)/(1 + e cos f)
cada valor del ángulo f llamado "anomalía verdadera", especifica una posición a lo largo de la órbita. Por consiguiente se puede usar la anomalía verdadera como tercer elemento orbital.
La anomalía verdadera f varía periódicamente alrededor de la órbita, rápidamente cerca del perigeo y lentamente cerca del apogeo. La 2ª Ley de Kepler nos lo dice todo sobre esta variación y deberá permitirnos obtener una fórmula que dé la forma en que varía fconel tiempo t. Desgraciadamente, no existe una forma clara para expresar esa fórmula.

La forma más fácil de expresar f es usando dos ángulos auxiliares, los cuales, al igual que f, aumentan 360º cada órbita, la "anomalía excéntrica " E (aquí la letra no tiene nada que ver con la energía) y la "anomalía media " M; existe una ecuación que relaciona f y E, y otra que relaciona E y M. La gran virtud de M es que crece en proporción al tiempo t:
M = M(0) + nt
donde M(0) es el valor de M cuando t = 0 y n es una constante (asociada con la constante que aparece en la 3ª Ley de Kepler). La anomalía media es la que se tiene en cuenta como tercer elemento orbital.
Si se desea predecir la posición de un satélite en su órbita en un momento t, asumiendo que el movimiento elíptico dado por las leyes de Kepler es lo suficientemente bueno para esa predicción (despreciando la atracción de la Luna, la fricción de la atmósfera superior, etc.) el primer paso es deducir M de la fórmula anterior. Luego se deduce E desde M, y finalmente f desde E, estas labores las computadoras las hacen muy fácil (aunque en otra época, esos cálculos se hacían sobre el papel y ni, con mucho, tan rápida o tan fácilmente). La fórmula para r nos da la posición del satélite en su órbita; todo lo que se requiere son los elementos a, e y M(0), la anomalía media para t=0.
Debajo va un dibujo de la órbita de Marte, tomado de los escritos de Kepler.

Entropía

El término Entropía
(tendencia natural de la pérdida del orden) puede referirse a:
En física y química a:
Entropía termodinámica, una magnitud que mide la parte de la energía que no puede utilizarse para producir un trabajo;es el grado de desorden que poseen las moléculas que integran un cuerpo.

Entropía de formación, la diferencia de entropía en el proceso de formación de sustancias a partir de sus elementos constituyentes;
Entropía de Kolmogorov objeto o dimensión estudiado en la física y matemáticas a partir de las homotecias.

En astrofísica y cosmología a:

"Entropía de los agujeros negros"

Entropía de los agujeros negros
En teoría de la información a:
Entropía en la información, el grado de incertidumbre que existe sobre un conjunto de datos.
Entropía de Shannon
Entropía de Alfred Rényi
Entropía condicional
En matemáticas a:
Entropía topológica, la correspondiente a la cantidad real asociada a todo sistema topológicamente dinámico.
"Entropía métrica

Entropía métrica , la correspondiente a la cantidad real asociada a todo sistema dinámico mensurable.

En termodinámica, la entropía (simbolizada como S) es la magnitud física que mide la parte de la energía que no puede utilizarse para producir trabajo. En un sentido más amplio se interpreta como la medida de la uniformidad de la energía de un sistema. Es una función de estado de carácter extensivo y su valor, en un sistema aislado, crece en el transcurso de un proceso que se dé de forma natural. La palabra entropía procede del griego (ἐντροπία) y significa evolución o transformación.
Cuando se plantea la pregunta: ¿por qué ocurren los sucesos de la manera que ocurren, y no al revés? se busca una respuesta que indique cuál es el sentido de los sucesos en la naturaleza. Por ejemplo, si se ponen en contacto dos trozos de metal con distinta temperatura, se anticipa que eventualmente el trozo caliente se enfriará, y el trozo frío se calentará, logrando al final una temperatura uniforme. Sin embargo, el proceso inverso, un trozo calentándose y el otro enfriándose es muy improbable a pesar de conservar la energía. El universo tiende a distribuir la energía uniformemente, es decir, maximizar la entropía.
La función termodinámica entropía, S, es central para la segunda Ley de la Termodinámica. La entropía puede interpretarse como una medida de la distribución aleatoria de un sistema. Se dice que un sistema altamente distribuido al azar tiene una alta entropía. Puesto que un sistema en una condición improbable tendrá una tendencia natural a reorganizarse a una condición más probable (similar a una distribución al azar), esta reorganización resultará en un aumento de la entropía. La entropía alcanzará un máximo cuando el sistema se acerque al equilibrio, alcanzándose la configuración de mayor probabilidad.
La entropia tambien puede considerarse como el aumento del orden del desorden de un sistema, es decir, el aumento de su equilibrio.
La entropía nos muestra el desorden molecular ocurrido en una reacción. Si el signo es positivo, quiere decir que se desordena molecularmente la reacción. En cambio, cuando el signo de la ecuación da negativo, quiere decir que la reacción se ordena.
Se establece una relación entre entropía y la energía libre de gibbs, ya que la energia libre de gibbs nos da a conocer la espontaneidad de la reacción, es decir, si la reacción es probable o no. Si la reacción es improbable, habrá una tendencia natural a organizarse a una condición más probable, es decir aumenta el desorden molecular (entropía). Entonces probabilidad de la reacción (E. libre de gibbs) con entropía son inversamente proporcionales, lo cual también se puede relacionar con la entalpía, la cual nos muestra si la reacción es exergónica o endergónica. Una reacción que tenga energía libre de gibbs negativa nos dirá que la reacción es más probable que ocurra espontáneamente, y a la vez dirá que la reaccion es exergónica, y como es más probable que ocurra de forma espontánea, la entropía bajará.

Esta idea de desorden termodinámico fue plasmada mediante una función ideada por Rudolf Clausius a partir de un proceso cíclico reversible. En todo proceso reversible la integral curvilínea de sólo depende de los estados inicial y final, con independencia del camino seguido (δQ es la cantidad de calor absorbida en el proceso en cuestión y T es la temperatura absoluta). Por tanto, ha de existir una función f(x) del estado del sistema, S = f(P,V,T) denominada entropía, cuya variación, en un proceso reversible entre los estados 1 y 2 es:
Téngase en cuenta que como el calor no es una función de estado se usa δQ en lugar de dQ.
La entropía física, en su forma clásica, es definida por la ecuación
o más simplemente, cuando no se produce variación de temperatura (proceso isotérmico):
donde S es la entropía, la cantidad de calor intercambiado entre el sistema y el entorno y T la temperatura absoluta en kelvin). Los números 1 y 2 se refieren a los estados iniciales y finales de un sistema termodinámico.
El significado de esta ecuación es el siguiente:
Cuando un sistema termodinámico pasa, en un proceso reversible e isotérmico, del estado 1 al estado 2, el cambio en su entropía es igual a la cantidad de calor intercambiado entre el sistema y el medio dividido por su temperatura absoluta.
De acuerdo con la ecuación, si el calor se transfiere al sistema, también lo hará el grado de entropía. Si la temperatura aumenta, la entropía disminuye. Y viceversa.
Las unidades de la entropía, en el Sistema Internacional, son el J/K (o Clausius) definido como la variación de entropía que experimenta un sistema cuando absorbe el calor de 1 Julio (unidad) a la temperatura de 1 Kelvin.

Cero absoluto
Sólo se pueden calcular variaciones de entropía. Para calcular la entropía de un sistema es necesario fijar la entropía del mismo en un estado determinado. La Tercera ley de la termodinámica fija un estado estándar: para sistemas químicamente puros, sin defectos estructurales en la red cristalina, de densidad finita, la entropía es nula en el cero absoluto (0 K).
Esta magnitud permite definir la Segunda ley de la termodinámica, de la cual se deduce que un proceso tiende a darse de forma espontánea en un cierto sentido solamente. Por ejemplo: un vaso de agua no empieza a hervir por un extremo y a congelarse por el otro de forma espontánea, aun cuando siga cumpliéndose la condición de conservación de la energía del sistema (Primera ley de la termodinámica). Por tanto, otra manera posible de interpretar esta magnitud es aquella que dice:
El tiempo, como se lo conoce, es la dirección en la que aumenta la entropía global del sistema.

Entropía y reversibilidad .La entropía global del sistema es la entropía del sistema considerado más la entropía de los alrededores. También se puede decir que la variación de entropía del universo, para un proceso dado, es igual a su variación en el sistema más la de los alrededores:

Si se trata de un proceso reversible, ΔS (universo) es cero pues el calor que el sistema absorbe o desprende es igual al trabajo realizado. Pero esto es una situación ideal, ya que para que esto ocurra los procesos han de ser extraordinariamente lentos y esta circunstancia no se da en la naturaleza. Por ejemplo, en la expansión isotérmica (proceso isotérmico) de un gas, considerando el proceso como reversible, todo el calor absorbido del medio se transforma en trabajo y Q=W. Pero en la práctica real el trabajo es menor ya que hay pérdidas por rozamientos, por lo tanto, los procesos son irreversibles.
Para llevar al sistema, de nuevo, a su estado original hay que aplicarle un trabajo mayor que el producido por el gas, dando como resultado una transferencia de calor hacia el entorno, con un aumento de la entropía global.
Como los procesos reales son siempre irreversibles, siempre aumentará la entropía. Así como "la energía no puede crearse ni destruirse", la entropía puede crearse pero no destruirse. Podemos decir entonces que "como el Universo es un sistema aislado, su entropía crece constantemente con el tiempo". Esto marca un sentido a la evolución del mundo físico, que llamamos "Principio de evolución".
Cuando la entropía sea máxima en el universo, esto es, exista un equilibrio entre todas las temperaturas y presiones, llegará la muerte térmica del Universo (enunciado por Clausius). Toda la energía se encontrará en forma de calor y no podrán darse transformaciones energéticas.

Interpretación estadística de la entropía .En los años 1890 - 1900 el físico austríaco Ludwig Boltzmann y otros, desarrollaron las ideas de lo que hoy se conoce como mecánica estadística, teoría profundamente influenciada por el concepto de entropía.
Según estas ideas, la entropía queda definida por la ecuación
Donde S es la entropía, k la constante de Boltzmann y Ω el número de microestados posibles para el sistema (ln es la función logaritmo neperiano).
La célebre ecuación se encuentra grabada sobre la lápida de la tumba de Boltzmann en el Zenmtralfriedhof de Viena, quien se suicidó en 1906, profundamente deprimido por la poca aceptación de sus teorías en el mundo académico de la época.
El significado literal de la ecuación es el siguiente:
La cantidad de entropía de un sistema es proporcional al logaritmo natural de su número de microestados posibles.
Ahora bien, su significado final es aún materia de discusión en física teórica, dado el profundo alcance que posee.

Entropía y la muerte
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Es posible explicar la muerte mediante la entropía. Como se ha dicho, la entropía se puede interpertar como un aumento del desorden. Un ser vivo se puede considerar un sistema altamente ordenado, donde la materia se encuentra en una estructura muy heterogénea y compleja. Al envejecer, las células pierden la capacidad de mantenerse ordenadas, es decir, de conformar un cuerpo con partes bien diferenciadas; se va produciendo un desorden del cuerpo. Para mantener ese orden necesitan la información que se encuentra en el ADN, pero ésta es una molécula extremadamente ordenada que tiende a desordenarse (perdiendo la información almacenada) con cada mitosis celular (duplicación celular).
Las células cancerígenas son capaces de duplicarse sin pérdida de información en su ADN (gracias a la telomerasa), pero por otro lado pierden la capacidad de mantenerse ordenadas en el lugar que deben ocupar y de realizar las funciones que le son naturales. Así, en un cáncer de pulmón, las células cancerígenas pueden establecerse en partes del cuerpo no destinadas a ellas, como el hígado: en el cáncer se produce un aumento de la entropía, más aún si se produce la muerte del individuo.
El cuerpo para mantener su orden consume energía de forma constante, aumentando la entropía del entorno al consumir alimentos y agua dulce (de menor entropía que la orina). Al morir, el cuerpo sigue siendo una estructura relativamente ordenada, que rápidamente (al no consumir energía) se desordena transformándose en moléculas más sencillas (descomposición). Se podría decir que la vida es un conjunto de elementos químicos que se encuentran de forma ordenada, y que para mantener ese orden necesitan consumir energía o moléculas con poca entropía. Con la muerte, de forma natural y espontánea, aumenta considerablemente la entropía.
Así pues, la muerte es una consecuencia de una tendencia general en la naturaleza ya que todos los procesos naturales tienden a un aumento de la entropía.

Relación de la entropía con la Teoría de la información
Recientes estudios han podido establecer una relación entre la entropía física y la entropía de la teoría de la información gracias a la revisión de la física de los agujeros negros. Según la nueva teoría de Jacob D. Bekenstein el bit de información sería equivalente a una superficie de valor 1/4 del área de Plank. De hecho, en presencia de agujeros negros la segunda ley de la termodinámica sólo puede cumplirse si se introduce la entropía generalizada o suma de la entropía convencional (Sconv) más un factor dependiente del área total (A) de agujeros negros existente en el universo, del siguiente modo:Donde, k es la constante de Boltzmann, c es la velocidad de la luz, G es la constante de la gravitación y es la constante de Planck racionalizada.
Los agujeros negros almacenarían la entropía de los objetos que engulle en la superficie del horizonte de sucesos. Stephen Hawking ha tenido que ceder ante las evidencias de la nueva teoría y ha propuesto un mecanismo nuevo para la conservación de la entropía en los agujeros negros.
Simplemente, al realizar un trabajo, se ocupa muy poca energía; la entropía se encarga de medir la energía que no es usada y queda reservada en un cuerpo.

2.- Entropia: En la desigualdad de Clausius no se han impuesto restricciones con respecto a la reversibilidad o no del proceso, pero si hacemos la restriccion de que el proceso sea reversible podemos ver que no importa el camino que usemos para recorrer el proceso, el cambio de calor dQ va a hacer iqual en un sentido o en otro por lo que llegaremos a que: dQ / T = 0 Como estamos imponiendo que usemos un camino cualquiera esta diferencial es una diferencial exacta y diremos que representa a una funciopn de estado S que pude representarse por dS. Esta cantidad S recibe el nombre de Entropia del sistema y la ecuacion : dQ / T = dS establece que la variacion de entropia de un sistema entre dos estados de equilibrio cualesquiera se obtiene llevando el sistema a lo largo de cualquier camino reversible que una dichos estados, dividiendo el calor que se entrega al sistema en cada punto del camino por la temperatura del sistema y sumando los coeficientes asi obtenidos. En la practica, generalmente los procesos no son del todo reversibles por lo que la entropia aumenta , no es conservativay ello es en gran parte el misterio de este concepto.

Caracteristicas asociadas a la entropia

.
La entropia se define solamente para estados de equilibrio.
Solamente pueden calcularse variaciones de entropia. En muchos problemas practicos como el diseno de una maquina de vapor , consideramos unicamente diferencias de entropia. Por conveniencia se considera nula la entropia de una sustancia en algunestado de referencia conveniente. Asi se calculan las tablas de vapor, e donde se supone cero la entropia del agua cuando se encuentra en fase liquida a 0'C y presion de 1 atm.
La entropia de un sistema en estado se equilibrio es unicamente funcion del estado del sistema, y es independiente de su historia pasada. La entropia puede calcularse como una funcion de las variables termodinamicas del sistema, tales como la presion y la temperatura o la presion y el volumen.
La entropia en un sistema aislado aumenta cuando el sistema experimenta un cambio irreversible.
Considerese un sistema aislado que contenga 2 secciones separadas con gases a diferentes presiones. Al quitar la separacion ocurre un cambio altamente irreversible en el sistema al equilibrarse las dos presiones. Pero el mediono ha sufrido cambio durante este proceso, asi que su energia y su estado permanecen constantes, y como el cambio es irreversible la entropia del sistema a aumentado.

Transferencia de entropia.
La entropia esta relacionada con la aleatoriedad del movimiento molecular (energia termica) , por esto, la entropia de un sistema no decrece si no hay cierta interaccion externa. Ocurre que la unica manrea que el hombre conoce de reducir la energia termica es transferirla en forma de calor a otro cuerpo, aumentando asi la energia termica del segundo cuerpo y por ende su entropia.
Por otro lado transfiriendo energia termica es posible reducir la entropia de un cuerpo. Si esta transferencia de energia es reversible, la energia total permanece constante, y si es irreversible la entropia aumenta.
De lo anterior se concluye que el calor es un flujo de entropia. En el caso de la transferencia de energia mecanica, i.e. fde trabajo, no hay un flujo directo de entropia.
Si la transferencia de energia mecanica en un sistema se realiza con irreversibilidad se producen aumentos de entropia en el sistema, es decir se generan entropia. Esta generacion de entropia trae consigo una perdida de trabajo utilizable debido a la degradacionde la energia mecanica producido por la irreversibilidades presentes como lo es el roce.

Irreversibilidad y entropia.
Ahora nos podriamos preguntar : De que depende la reversibilidad de un proceso??. Una respuesta a esto es decir que la variacion de entropia es el criterio que permite establecer el sentido en que se produciran un proceso determinado que cumpla con el primer principio de la termodinamica.
Asi, el ingeniero mecanico esta interesado en la reversibilidad y en las variaciones de entropia por que desde su punto de vista algo se ha "perdido" cuandoo se ha producido un prceso irreversible, en una maquina de vapor io en una turbina. Lo que se ha perdido, sin embargo, no es enrgia, sino una oprtunidad. La oprtunidad de transformar energia termica en energia mecanica. Puesto que la energia interna de una sustancia que evoluciona en una maquina termica se recupera generalmente por absorcion del calor, decimos que lo que se pierde es una oprtunidad de converretir calor en trabajo mecanico.
Es imposible extraer calor de una unica fuente y hacer funcionar una maquina ciclica; en cambio podriamos hacer hacer funcionar una maquina etre dos fuentes, una caliente y otra fria, extrayendo calor de una y entregandosela a la otra, y disponiendo de una parte de ese calor para producir trabajo mecanico. Una vez que las fuentes han alcanzado la misma temperatura, esta oprtunidad esta irremediablemente perdida. Por lo tanto cualquier proceso irreversible en una maquina termica disminuye su rendimiento, es decir, reduce la cantidad de trabajo mecanico que puede obtenerse con una cierta cantidad de calor absorbido por la sustancia que evoluciona.

Principio del aumento de entropia.
Todos los procesos reales son irreversibles. Se producen a una velocidad con diferencia s finitas de temperaturay de presionentre loa diferentes partes de un sistema o entre un sistema y el medio ambiente. En mecanica se introducen los conceptos de energia, cantidad de movimiento y otros por que se conservan. La entropia no se conserva , sin embargo, excepto en los procesos reversibles y esta propiedad no familiar, o falta de propiedad de la funcion entropia, es una razon del por que existe cierto misterio sobre el concepto de entropia. Cuando se mezcla un vaso de agua caliente con uno de agua fria, el calor entregado por el agu caliente es igual al recibido por el agua fria, sin embargo la entropia del agua caliente disminuye y la del agua fria aumenta; pero el aumento es mayor quer la disminucion por lo que la entropia total del sistema aumenta. De donde ha salido esta entropia adicional?. La respusta es que ha sido creada durante el proceso de mezcla. Por otra parte, una vez que fue creada, la entropia no puede seer destruida. El universo debe cargar con este aumento de entropia.
"La energia no puede ser4 creada ni destruida",nos dice el primer principio de la termodinamica. " La entropia no puede ser destruida, pero puede ser creada", nos dice el segundo principio.

Calculo de variaciones de entropia.
Proceso isotermico: Como la temperatuar es constante se saca fuera de la integral y quedaria:
S2 - S1 =q / T
Proceso no isotermico: En muchos procesos, la absorcion reversible de calor esta acompanada por un cambio de temperatura, es este caso expresamos el calor en funcion de la temperatura integramos y obtendremos:
En un proceso a volumen constante:
dq = cv dT
entonces
S2 -S1 = cv ln T2/T1
En un proceso a presion constante :
dq = cp dT
entonces
S2 -S1 = cp ln T2/T1
Proceso adiabatico: En un proceso adiabatico como no existe transferencia de calor la variacion de entropias es cero.

Desigualdad de Clausius:
La desigualdad de Clausiu es una relacion entre las temperasturas de un numero arbitrario de fuentes termicas y las cantidades de calor entregadas o absorbidas por ellas, cuando a una sustancia se le hace recorrer un proceso ciclico arbitrario durante el cual intercambie calor con las fuentes. Esta desigualdad viene dada por:
dQ / T <= 0 en el caso de una cantida dinfinita de fuentes. 2.- Entropia: En la desigualdad de Clausius no se han impuesto restricciones con respecto a la reversibilidad o no del proceso, pero si hacemos la restriccion de que el proceso sea reversible podemos ver que no importa el camino que usemos para recorrer el proceso, el cambio de calor dQ va a hacer iqual en un sentido o en otro por lo que llegaremos a que: dQ / T = 0 Como estamos imponiendo que usemos un camino cualquiera esta diferencial es una diferencial exacta y diremos que representa a una funciopn de estado S que pude representarse por dS. Esta cantidad S recibe el nombre de Entropia del sistema y la ecuacion : dQ / T = dS establece que la variacion de entropia de un sistema entre dos estados de equilibrio cualesquiera se obtiene llevando el sistema a lo largo de cualquier camino reversible que una dichos estados, dividiendo el calor que se entrega al sistema en cada punto del camino por la temperatura del sistema y sumando los coeficientes asi obtenidos. En la practica, generalmente los procesos no son del todo reversibles por lo que la entropia aumenta , no es conservativay ello es en gran parte el misterio de este concepto.
Caracteristicas asociadas a la entropia.
La entropia se define solamente para estados de equilibrio.
Solamente pueden calcularse variaciones de entropia. En muchos problemas practicos como el diseno de una maquina de vapor , consideramos unicamente diferencias de entropia. Por conveniencia se considera nula la entropia de una sustancia en algunestado de referencia conveniente. Asi se calculan las tablas de vapor, e donde se supone cero la entropia del agua cuando se encuentra en fase liquida a 0'C y presion de 1 atm.
La entropia de un sistema en estado se equilibrio es unicamente funcion del estado del sistema, y es independiente de su historia pasada. La entropia puede calcularse como una funcion de las variables termodinamicas del sistema, tales como la presion y la temperatura o la presion y el volumen.
La entropia en un sistema aislado aumenta cuando el sistema experimenta un cambio irreversible.
Considerese un sistema aislado que contenga 2 secciones separadas con gases a diferentes presiones. Al quitar la separacion ocurre un cambio altamente irreversible en el sistema al equilibrarse las dos presiones. Pero el mediono ha sufrido cambio durante este proceso, asi que su energia y su estado permanecen constantes, y como el cambio es irreversible la entropia del sistema a aumentado.

Transferencia de entropia.
La entropia esta relacionada con la aleatoriedad del movimiento molecular (energia termica) , por esto, la entropia de un sistema no decrece si no hay cierta interaccion externa. Ocurre que la unica manrea que el hombre conoce de reducir la energia termica es transferirla en forma de calor a otro cuerpo, aumentando asi la energia termica del segundo cuerpo y por ende su entropia.
Por otro lado transfiriendo energia termica es posible reducir la entropia de un cuerpo. Si esta transferencia de energia es reversible, la energia total permanece constante, y si es irreversible la entropia aumenta.
De lo anterior se concluye que el calor es un flujo de entropia. En el caso de la transferencia de energia mecanica, i.e. fde trabajo, no hay un flujo directo de entropia.
Si la transferencia de energia mecanica en un sistema se realiza con irreversibilidad se producen aumentos de entropia en el sistema, es decir se generan entropia. Esta generacion de entropia trae consigo una perdida de trabajo utilizable debido a la degradacionde la energia mecanica producido por la irreversibilidades presentes como lo es el roce.

Irreversibilidad y entropia.
Ahora nos podriamos preguntar : De que depende la reversibilidad de un proceso??. Una respuesta a esto es decir que la variacion de entropia es el criterio que permite establecer el sentido en que se produciran un proceso determinado que cumpla con el primer principio de la termodinamica.
Asi, el ingeniero mecanico esta interesado en la reversibilidad y en las variaciones de entropia por que desde su punto de vista algo se ha "perdido" cuandoo se ha producido un prceso irreversible, en una maquina de vapor io en una turbina. Lo que se ha perdido, sin embargo, no es enrgia, sino una oprtunidad. La oprtunidad de transformar energia termica en energia mecanica. Puesto que la energia interna de una sustancia que evoluciona en una maquina termica se recupera generalmente por absorcion del calor, decimos que lo que se pierde es una oprtunidad de converretir calor en trabajo mecanico.
Es imposible extraer calor de una unica fuente y hacer funcionar una maquina ciclica; en cambio podriamos hacer hacer funcionar una maquina etre dos fuentes, una caliente y otra fria, extrayendo calor de una y entregandosela a la otra, y disponiendo de una parte de ese calor para producir trabajo mecanico. Una vez que las fuentes han alcanzado la misma temperatura, esta oprtunidad esta irremediablemente perdida. Por lo tanto cualquier proceso irreversible en una maquina termica disminuye su rendimiento, es decir, reduce la cantidad de trabajo mecanico que puede obtenerse con una cierta cantidad de calor absorbido por la sustancia que evoluciona.

Principio del aumento de entropia.
Todos los procesos reales son irreversibles. Se producen a una velocidad con diferencia s finitas de temperaturay de presionentre loa diferentes partes de un sistema o entre un sistema y el medio ambiente. En mecanica se introducen los conceptos de energia, cantidad de movimiento y otros por que se conservan. La entropia no se conserva , sin embargo, excepto en los procesos reversibles y esta propiedad no familiar, o falta de propiedad de la funcion entropia, es una razon del por que existe cierto misterio sobre el concepto de entropia. Cuando se mezcla un vaso de agua caliente con uno de agua fria, el calor entregado por el agu caliente es igual al recibido por el agua fria, sin embargo la entropia del agua caliente disminuye y la del agua fria aumenta; pero el aumento es mayor quer la disminucion por lo que la entropia total del sistema aumenta. De donde ha salido esta entropia adicional?. La respusta es que ha sido creada durante el proceso de mezcla. Por otra parte, una vez que fue creada, la entropia no puede seer destruida. El universo debe cargar con este aumento de entropia.
"La energia no puede ser4 creada ni destruida",nos dice el primer principio de la termodinamica. " La entropia no puede ser destruida, pero puede ser creada", nos dice el segundo principio.

Calculo de variaciones de entropia.
Proceso isotermico: Como la temperatuar es constante se saca fuera de la integral y quedaria:
S2 - S1 =q / T
Proceso no isotermico: En muchos procesos, la absorcion reversible de calor esta acompanada por un cambio de temperatura, es este caso expresamos el calor en funcion de la temperatura integramos y obtendremos:
En un proceso a volumen constante:
dq = cv dT
entonces
S2 -S1 = cv ln T2/T1
En un proceso a presion constante :
dq = cp dT
entonces
S2 -S1 = cp ln T2/T1
Proceso adiabatico: En un proceso adiabatico como no existe transferencia de calor la variacion de entropias es cero.

Principio del aumento de entropia.
Todos los procesos reales son irreversibles. Se producen a una velocidad con diferencia s finitas de temperaturay de presionentre loa diferentes partes de un sistema o entre un sistema y el medio ambiente. En mecanica se introducen los conceptos de energia, cantidad de movimiento y otros por que se conservan. La entropia no se conserva , sin embargo, excepto en los procesos reversibles y esta propiedad no familiar, o falta de propiedad de la funcion entropia, es una razon del por que existe cierto misterio sobre el concepto de entropia. Cuando se mezcla un vaso de agua caliente con uno de agua fria, el calor entregado por el agu caliente es igual al recibido por el agua fria, sin embargo la entropia del agua caliente disminuye y la del agua fria aumenta; pero el aumento es mayor quer la disminucion por lo que la entropia total del sistema aumenta. De donde ha salido esta entropia adicional?. La respusta es que ha sido creada durante el proceso de mezcla. Por otra parte, una vez que fue creada, la entropia no puede seer destruida. El universo debe cargar con este aumento de entropia.
"La energia no puede ser4 creada ni destruida",nos dice el primer principio de la termodinamica. " La entropia no puede ser destruida, pero puede ser creada", nos dice el segundo principio.

Calculo de variaciones de entropia.
Proceso isotermico: Como la temperatuar es constante se saca fuera de la integral y quedaria:
S2 - S1 =q / T
Proceso no isotermico: En muchos procesos, la absorcion reversible de calor esta acompanada por un cambio de temperatura, es este caso expresamos el calor en funcion de la temperatura integramos y obtendremos:
En un proceso a volumen constante:
dq = cv dT
entonces
S2 -S1 = cv ln T2/T1
En un proceso a presion constante :
dq = cp dT
entonces
S2 -S1 = cp ln T2/T1

Calculo de variaciones de entropia.
Proceso isotermico: Como la temperatuar es constante se saca fuera de la integral y quedaria:
S2 - S1 =q / T
Proceso no isotermico: En muchos procesos, la absorcion reversible de calor esta acompanada por un cambio de temperatura, es este caso expresamos el calor en funcion de la temperatura integramos y obtendremos:
En un proceso a volumen constante:
dq = cv dT
entonces
S2 -S1 = cv ln T2/T1
En un proceso a presion constante :
dq = cp dT
entonces
S2 -S1 = cp ln T2/T1
Proceso adiabatico: En un proceso adiabatico como no existe transferencia de calor la variacion de entropias es cero.Calculo de variaciones de entropia.
Proceso isotermico: Como la temperatuar es constante se saca fuera de la integral y quedaria:
S2 - S1 =q / T
Proceso no isotermico: En muchos procesos, la absorcion reversible de calor esta acompanada por un cambio de temperatura, es este caso expresamos el calor en funcion de la temperatura integramos y obtendremos:
En un proceso a volumen constante:
dq = cv dT
entonces
S2 -S1 = cv ln T2/T1
En un proceso a presion constante :
dq = cp dT
entonces
S2 -S1 = cp ln T2/T1
Proceso adiabatico: En un proceso adiabatico como no existe transferencia de calor la variacion de entropias es cero.
Calculo de variaciones de entropia.
Proceso isotermico: Como la temperatuar es constante se saca fuera de la integral y quedaria:
S2 - S1 =q / T
Proceso no isotermico: En muchos procesos, la absorcion reversible de calor esta acompanada por un cambio de temperatura, es este caso expresamos el calor en funcion de la temperatura integramos y obtendremos:
En un proceso a volumen constante:
dq = cv dT
entonces
S2 -S1 = cv ln T2/T1
En un proceso a presion constante :
dq = cp dT
entonces
S2 -S1 = cp ln T2/T1
Proceso adiabatico: En un proceso adiabatico como no existe transferencia de calor la variacion de entropias es cero.Calculo de variaciones de entropia.
Proceso isotermico: Como la temperatuar es constante se saca fuera de la integral y quedaria:
S2 - S1 =q / T
Proceso no isotermico: En muchos procesos, la absorcion reversible de calor esta acompanada por un cambio de temperatura, es este caso expresamos el calor en funcion de la temperatura integramos y obtendremos:
En un proceso a volumen constante:
dq = cv dT
entonces
S2 -S1 = cv ln T2/T1
En un proceso a presion constante :
dq = cp dT
entonces
S2 -S1 = cp ln T2/T1
Proceso adiabatico: En un proceso adiabatico como no existe transferencia de calor la variacion de entropias es cero.Calculo de variaciones de entropia.
Proceso isotermico: Como la temperatuar es constante se saca fuera de la integral y quedaria:
S2 - S1 =q / T
Proceso no isotermico: En muchos procesos, la absorcion reversible de calor esta acompanada por un cambio de temperatura, es este caso expresamos el calor en funcion de la temperatura integramos y obtendremos:
En un proceso a volumen constante:
dq = cv dT
entonces
S2 -S1 = cv ln T2/T1
En un proceso a presion constante :
dq = cp dT
entonces
S2 -S1 = cp ln T2/T1
Proceso adiabatico: En un proceso adiabatico como no existe transferencia de calor la variacion de entropias es cero.
Calculo de variaciones de entropia.
Proceso isotermico: Como la temperatuar es constante se saca fuera de la integral y quedaria:
S2 - S1 =q / T
Proceso no isotermico: En muchos procesos, la absorcion reversible de calor esta acompanada por un cambio de temperatura, es este caso expresamos el calor en funcion de la temperatura integramos y obtendremos:
En un proceso a volumen constante:
dq = cv dT
entonces
S2 -S1 = cv ln T2/T1
En un proceso a presion constante :
dq = cp dT
entonces
S2 -S1 = cp ln T2/T1
Proceso adiabatico: En un proceso adiabatico como no existe transferencia de calor la variacion de entropias es cero.Calculo de variaciones de entropia.
Proceso isotermico: Como la temperatuar es constante se saca fuera de la integral y quedaria:
S2 - S1 =q / T
Proceso no isotermico: En muchos procesos, la absorcion reversible de calor esta acompanada por un cambio de temperatura, es este caso expresamos el calor en funcion de la temperatura integramos y obtendremos:
En un proceso a volumen constante:
dq = cv dT
entonces
S2 -S1 = cv ln T2/T1
En un proceso a presion constante :
dq = cp dT
entonces
S2 -S1 = cp ln T2/T1
Proceso adiabatico: En un proceso adiabatico como no existe transferencia de calor la variacion de entropias es cero.
Calculo de variaciones de entropia.
Proceso isotermico: Como la temperatuar es constante se saca fuera de la integral y quedaria:
S2 - S1 =q / T
Proceso no isotermico: En muchos procesos, la absorcion reversible de calor esta acompanada por un cambio de temperatura, es este caso expresamos el calor en funcion de la temperatura integramos y obtendremos:
En un proceso a volumen constante:
dq = cv dT
entonces
S2 -S1 = cv ln T2/T1
En un proceso a presion constante :
dq = cp dT
entonces
S2 -S1 = cp ln T2/T1
Proceso adiabatico: En un proceso adiabatico como no existe transferencia de calor la variacion de entropias es cero.Calculo de variaciones de entropia.
Proceso isotermico: Como la temperatuar es constante se saca fuera de la integral y quedaria:
S2 - S1 =q / T
Proceso no isotermico: En muchos procesos, la absorcion reversible de calor esta acompanada por un cambio de temperatura, es este caso expresamos el calor en funcion de la temperatura integramos y obtendremos:
En un proceso a volumen constante:
dq = cv dT
entonces
S2 -S1 = cv ln T2/T1
En un proceso a presion constante :
dq = cp dT
entonces
S2 -S1 = cp ln T2/T1
Proceso adiabatico: En un proceso adiabatico como no existe transferencia de calor la variacion de entropias es cero.
Calculo de variaciones de entropia.
Proceso isotermico: Como la temperatuar es constante se saca fuera de la integral y quedaria:
S2 - S1 =q / T
Proceso no isotermico: En muchos procesos, la absorcion reversible de calor esta acompanada por un cambio de temperatura, es este caso expresamos el calor en funcion de la temperatura integramos y obtendremos:
En un proceso a volumen constante:
dq = cv dT
entonces
S2 -S1 = cv ln T2/T1
En un proceso a presion constante :
dq = cp dT
entonces
S2 -S1 = cp ln T2/T1
Proceso adiabatico: En un proceso adiabatico como no existe transferencia de calor la variacion de entropias es cero.

ALBERT EINSTEIN nació en 1879 en la ciudad alemana de Ulm. Según contaba él mismo, empezó a interesarse en la física siendo aún niño, un día que le compraron una brújula. Le intrigaba el hecho de que el imán señalara siempre la misma dirección, y, como era de esperarse, las explicaciones que le dieron los adultos estaban lejos de satisfacerle. Cuando llegó a la edad de escoger profesión, Einstein decidió estudiar física en el Instituto Tecnológico de Zurich, a donde logró ingresar no sin haber sido rechazado en su primer intento por tener calificaciones mediocres en todas las materias, excepto en matemáticas. En ése Instituto se graduaría finalmente en 1900. Figura 10. Albert Einstein en la oficina de patentes de Berna, alrededor de 1905. Como no había sido un estudiante brillante, Einstein no logró encontrar ningún puesto de trabajo como físico al terminar sus estudios. Finalmente, para subsistir y mantener a su familia (se había casado en 1903 y su primer hijo había nacido poco después), aceptó un empleo en la Oficina de Patentes de Berna, en Suiza. Su trabajo consistía en estudiar las solicitudes de patentes, pero en sus ratos libres seguía dedicándose a la física. Uno de los problemas que más le interesaba en aquella época era la aparente incompatibilidad entre el principio de relatividad galileano y la teoría electromagnética de Maxwell. Sobre este tema, y antes de Einstein, habían trabajado el físico holandés Hendrik Lorentz y el matemático francés Henri Poincaré. El problema que se habían planteado era el siguiente: Las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento del campo electromagnético en cada punto del espacio y en cada instante de tiempo (o, en términos un poco más matemáticos, dicho campo depende de tres coordenadas espaciales, digamos x, y, z, y el tiempo t) Ahora bien ¿se pueden cambiar la posición y el tiempo en las ecuaciones de Maxwell sin alterar su forma? En el caso de las ecuaciones de la mecánica newtoniana, la respuesta es afirmativa debido al principio de relatividad de Galileo: se puede pasar de un sistema de referencia a otro sin cambiar la forma de las ecuaciones (las leyes de la física son invariantes), si el tiempo medido en cada sistema es el mismo. Evidentemente, en el caso del electromagnetismo, el problema es más complicado porque, no se puede recurrir a la relatividad galileana. Sin embargo, Lorentz demostró que existe una transformación matemática que deja invariante la forma de las ecuaciones de Maxwell, siempre y cuando se cambie no sólo la posición de un punto sino también el tiempo. El mismo resultado fue obtenido y generalizado por Poincaré. (Ver Apéndice). En su época, el trabajo de Lorentz fue considerado una curiosidad matemática, ingeniosa pero desprovista de sentido físico. En efecto; ¿cómo puede el tiempo transcurrir en forma diferente en sistemas de referencia distintos? La misma experiencia diaria y el sentido común parecen negar tal posibilidad. Tal era la situación cuando Einstein publicó en 1905 el famoso artículo intitulado Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, en una prestigiosa revista alemana de física; con ese trabajo nació la teoría de la relatividad. Einstein postuló que las ecuaciones de Maxwell deben tener la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial y que, por lo tanto, es imposible distinguir, a partir de experimentos electromagnéticos, un sistema de referencia inercial de otro. Para que este principio de relatividad se cumpla, es necesario que las transformaciones de Lorentz sean físicamente válidas; en consecuencia, el tiempo medido entre dos sucesos depende del movimiento de quien lo mide. Einstein postuló que no existe un tiempo absoluto, ni un espacio absoluto y, por lo tanto, tampoco un éter. Pero, si no existe el éter ¿con respecto a qué debe medirse la velocidad de la luz? La respuesta fue tajante: la velocidad de la luz (en el vacío) es la misma en cualquier sistema de referencia inercial. Después de todo, eso es lo que indicó el experimento de Michelson y Morley. La invariancia de la velocidad de la luz parece contradecir toda experiencia. Si la velocidad de la luz es de 300 000 kilómetros por segundo, se esperaría que al correr tras una señal luminosa ésta parecería tener una velocidad menor. Sin embargo, según Einstein, no importa cómo se mueva un sistema de referencia, pues la velocidad de la luz medida en él será siempre de 300 000 kilómetros por segundo. En la teoría de la relatividad, las velocidades no se adicionan o sustraen simplemente, pues hay que tomar en cuenta también cómo se mide el tiempo en un sistema de referencia dado. (Ver Apéndice A. ) En resumen, la velocidad de la luz en el vacío1 es una constante fundamental de la naturaleza, independiente de quién la mida. Es una velocidad extremadamente alta en comparación con nuestra experiencia cotidiana (un rayo luminoso sólo necesita dos segundos para ir de la Tierra a la Luna y volver). ¿Por qué la luz tiene esa velocidad y no otra? Esta pregunta no la puede responder la física; lo único que se puede afirmar es que, de ser otra la velocidad de la luz, el Universo sería muy distinto al que conocemos y no existiríamos nosotros para formularnos tales preguntas.

E=mc²

refracion y trasicion de ondas